Optical fusion gateによるグラフ状態の作成

さて、どうやってグラフ状態を作るかですが、量子光学系では、Fusionゲート[D. E. Browne and T. Rudolph, PRL 95, 010501 (2005)]

というものがあります。量子光学系の場合、１キュービットゲートは簡単ですが、２キュービットゲートは難しいです。

特に、CZゲートは確率的にしか実現できないので、小さなグラフ状態をFusionゲートで確率的にくっつけていき、

大きなグラフ状態を作る戦略をとります。

FusionゲートにはType-IとType-IIの２種類あります。まず、Type-Iは次のようなセットアップを用います。

ただし、このPBSは

のように働きます。

これのインプット状態を最も一般的に、

と書きます。ダイレクトな計算により、測定直前のアウトプット状態状態は、

となることが分かります。

したがって、光子を１個も検出しない場合、

H光子を２個、V光子を０個検出した場合　あるいは　H光子を０個、V光子を２個検出した場合、

H光子を１個、V光子を０個検出した場合、

H光子を０個、V光子を１個検出した場合、

となることが分かります。

つまり、キュービットの言葉で言うと、

という状態がインプットのときに、

という４パターンのアウトプットを出す操作をしています。

特に、インプットが２つのグラフ状態の場合、下のように、グラフ状態をつなぐか、切る、という操作になっているのです。

Type-IIは以下のようなセットアップを用います。

Type-IIの場合は、光子数を区別して検出しなくても良い、という利点があります。

Type-IIをつかわずに、効率的に２次元クラスター状態をつくる、という方法もあります[G. Gilbert, M. Hamrick and Y. S. Weinstein, PRA 73 064303(B) (2006)]。

物質系（NVセンター、量子ドット、イオン、原子等）をキュービットに使い、その間を光を介してエンタングルメントをつくる、

という分散量子計算の方法があります。その際に使えるのが

Barrett-Kokのdouble heralding法です[Sean D. Barrett Pieter Kok, PRA 71, 060310(R) (2005)]。

それを説明します。物質系は、下の図のような、２つのLow-lying stateと１つのExcited stateからなる系を考えます。

πパルスをかけると、|1>→|e>なる遷移が起きるとします。

さて、まず、最初に、２つのキュービットを|+>=|0>+|1>の状態にします。

次に、各キュービットにπパルスをかけます。光子検出器で光子を検出するまで待ちます。

検出したら、それぞれのキュービットに、ビットフリップXをかけます。

またπパルスをかけて、光子が検出されるのを待ちます。

もし、この２回の検出において、２回とも、光子が片方の検出器にのみ検出された場合、成功です。

それ以外は失敗です。

さてまず、最初のπパルスの後の状態は

です。mは物質系で、pが光子系です。ビームスプリッターを通過すると、

となります。

もし、片方の検出器(例えばD1)だけが光子を検出したら、物質系は、

|01>-|10>

|11>

の２つの状態の混合になります。

次に、物質キュービットに、ビットフリップXをかけます。すると、

|01>-|10>

のほうは変化しませんが、

|11>は|00>になるので、もはや光子を出しません。

|01>-|10>

のほうは、しばらく待つと、光子を出します。ビームスプリッターに通して、検出すると、片方の検出器のみが

光子を検出したとき、物質系は

|01>+|10>

または

|01>-|10>

となります。こうして、物質キュービットを、Maximally entangled stateにすることができました。

実は、この方法を使えば、グラフ状態を作ることもできるのです。実際、下の図のようになることが直接の計算で確認できます。

図のように、２つのグラフ状態の各キュービットにBarrett-Kok (BK)スキームを使うと、成功した場合、

測定結果m=0,1に応じて右上のようなグラフ状態になります。

失敗した場合は右下のように、グラフ状態がつながりません。

参考文献：

R. Raussendorf and H. J. Briegel, A one-way quantum computer, PRL86,5188 (2001) 　Measurement-based量子計算が最初に提案された論文。

R. Raussendorf, D. E. Browne, and H. J. Briegel, Measurement-based quantum computation with cluster states, PRA68,022312(2003)　そのFull paper。

F. Verstraete and J. I. Cirac, Valence bond solids for quantum computation, PRA70,060302(R)(2004) Measurement-based量子計算の、VBSおよびテレポーテーションによる解釈

R. Jozsa, An introduction to measurement based quantum computation, arXiv:0508124, Jozsaによる解説記事

M. A. Nielsen, Cluster state quantum computation, arXiv:0504097, Nielsenによる解説記事

R. Raussendorf and H. J. Briegel, Computational model underlying the one-way quantum computer, Quant. Inf. Compt. 6, 433 (2002). Raussendorfによる解説。

R. Raussendorf and H. J. Briegel, Computational model for the one-way quantum computer: concepts and summary, arXiv:0207183, Raussendorfによる解説。

D. Browne and H. J. Briegel, One-way quantum computation-a tutorial introduction, arXiv:0603226, Browneによる解説。

D. E. Browne and T. Rudolph, Resource-Efficient Linear Optical Quantum Computation, PRL. 95, 010501 (2005) Fusionゲートが提案された論文。

T. P. Bodiya and L.-M. Duan, Scalable Generation of Graph-State Entanglement Through Realistic Linear Optics, Phys. Rev. Lett. 97, 143601 (2006). こちらも参考に。

Sean D. Barrett Pieter Kok, Efficient high-fidelity quantum computation using matter qubits and linear optics, Phys. Rev. A 71, 060310(R) (2005) 上で説明したBKスキーム。